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No hay estudio del hombre que merezca llamarse ciencia si no se basa en la demostración y argumentación matemática. Que nadie se atreva a adentrarse en los fundamentos de mi obra si no es matemático.
Leonardo da Vinci (1452 – 1519) |
There is no study of the man that deserves to be called science when it is not based on the mathematical demonstration and argumentation. That nobody dares to study in dept the basic principles of my work if he is not a mathematician. Leonardo da Vinci (1452 – 1519) |
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LEONARDO DA VINCI SE INSPIRO EN LA OBRA DE VITRUVIO PARA SEÑALAR LAS PROPORCIONES HUMANAS; PERO ADEMAS OCULTO EN ESA GEOMETRIA OTRA QUE, AL SER DECODIFICADA, DEMUESTRA LA CONSTRUCCION DE UN CIRCULO DE IGUAL AREA QUE EL CUADRADO DIBUJADO. CON ESA BASE SE RESOLVIO EL ANTIGUO PROBLEMA DE LA ‘CUADRATURA DEL CIRCULO’, SEGUN SU POSTULADO ORIGINAL: ‘A PARTIR DE UN CIRCULO CONSTRUIR UN CUADRADO QUE TENGA LA MISMA SUPERFICIE, SOLO CON EL EMPLEO DE UN COMPAS Y UNA REGLA SIN GRADUAR'. |
LEONARDO DA VINCI INSPIRED HIMSELF IN THE WORK OF VITRUVIO FOR INDICATING THE HUMAN PROPORTIONS; BUT MOREOVER HIDDEN IN THAT GEOMETRY ANOTHER ONE THAT, WHEN BEING DECODED, SHOWS THE CONSTRUCTION OF A CIRCLE OF EQUAL AREA THAN THE SQUARE DRAWN. WITH THAT BASIS THE ANCIENT PROBLEM OF THE 'QUADRATURE OF THE CIRCLE', ACCORDING TO ORIGINAL POSTULATE: 'ON BASIS OF A CIRCLE CONSTRUCT A SQUARE THAT HAS THE SAME AREA, ONLY WITH THE USE OF A COMPASS AND A RULER WITHOUT GRADUATION' WAS RESOLVED. |
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*Con la colaboración de María José Calvimontes C. y de Alfredo Calvimontes C. *With the cooperation of Maria José Calvimontes C. and of Alfredo Calvimontes C. |
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LEONARDO Y VITRUVIOEl conocido esquema de Leonardo que muestra las proporciones humanas se relaciona con el postulado que, quince siglos antes, hizo sobre esa materia el arquitecto romano Marcus Vitruvius Pollio en su obra De architectura. Leonardo mostró el vínculo bajo el número 340 de su libro Tratado de Pintura [1] que, poniendo entre paréntesis los criterios que no se encuentran en la obra precedente, en forma escueta dice en la parte que interesa: Según Vitruvio....... Si abres tanto las piernas (que tu altura mengüe en 1/14,) y tanto extiendes y alzas los brazos que con los dedos medios alcances la línea que delimita el extremo superior de la cabeza, has de saber que el centro de los miembros extendidos será el ombligo (y que el espacio que comprenden las piernas será un triángulo equilátero). La longitud de los brazos extendidos de un hombre es igual a su altura. |
LEONARDO AND VITRUVIOThe known scheme of Leonardo that shows the human proportions relates with the postulate that, fifteen centuries before, the Roman architect Marcus Vitruvius Pollio made on this matter in his work De architectura. Leonardo has shown the link under the number 340 in his book Treaty of Painting [1] that, putting into parenthesis the criteria that are not found on the preceding work, in concise form says in the part that is of interest: According to Vitruvio..... When you open so much the legs (so that your height decreases by 1/14), and extend and raise the arms so that with the middle fingers you reach the line that limits the upper end of the head, you have to know that the center of the extended members will be the navel (and that the space that comprise the legs will be an equilateral triangle). The length of the extended arms of a man is equal to his height. |
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Vitruvio, según la traducción al castellano de Angeles Cardona [3] -que en esencia no difiere de otras-, en forma extensa expuso: El ombligo es el punto central natural del cuerpo humano. En efecto, si se coloca un hombre boca arriba, con sus manos y sus pies estirados, situando el centro del compás en el ombligo y trazando una circunferencia, ésta tocaría la punta de ambas manos y los dedos de los pies. La figura circular trazada sobre el cuerpo humano nos posibilita el lograr también un cuadrado; si se mide desde la planta de los pies hasta la coronilla, la medida resultante será la misma que la que se da entre las puntas de los dedos con los brazos extendidos; exactamente su anchura mide lo mismo que su altura, como los cuadrados que trazamos con la escuadra. |
Vituvio, according to the translation into Spanish by Angeles Cardona [3] -that essentially does not differ from others-, in an extended fashion explained: The navel is the central point of the human body. In fact, if a man is placed face up, with his hands and feet stretched, placing the center of the compass at the navel and drawing a circumference, this will touch the tip of both hands and the fingers of the feet. The circular figure drawn on the human body enables us to also achieve a square: if we measure from the sole of the feet up to the crown of the head, the resulting measure will be the same than the one between the tips of the finger with the extended arms; its width measures exactly the same as its height, such as the squares we draw with the set square. |
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ANTECEDENTES Y ENTORNOA partir del descubrimiento en 1414 (sin sus ilustraciones por habérselas perdido) de una copia manuscrita del libro de Vitruvio, con los principios de la arquitectura clásica el interés por el pasado, de artistas, arquitectos y mecenas, motivó que la labor de hacer inteligible a esa obra recayera primeramente en eruditos humanistas, arqueólogos, anticuarios, filólogos y gramáticos, dando origen a una variedad de tratados [5], desde la obra de Alberti que recuerda a Vitruvio, y a numerosas ediciones del libro de éste, una en el siglo XV y por lo menos once en el XVI. Asumiendo que Leonardo realizó su dibujo entre 1485 y 1490, aparte de haber podido conocer manuscritos de la obra de Vitrubio, la única edición de ella en su época que pudo haber tomado en cuenta sería la que se supone se imprimió en Roma entre 1486 y 1492, que empieza con una nota del editor, Iohannes Sulpitius di Veroli, y se considera la edición príncipe de la obra. Sulpitius usó los manuscritos más conocidos, pero dejó espacios en blanco para los términos griegos, los epigramas y las ilustraciones; de éstas sólo intentó una, un círculo. También Leonardo pudo considerar la obra de Alberti De re aedificatoria impresa en 1485; pero es posible que anteriormente la haya tenido a su alcance, porque habían pasado más de treinta años desde su presentación. Por otra parte, es evidente que leyó los tratados que Francesco di Giorgio Martini hizo sobre la base de la obra de Vitruvio. Con lo cual Leonardo habría tenido, aparte del conocimiento de manuscritos de ésta, por lo menos tres referencias sobre la misma y, sabiendo tanto de anatomía humana, pudo interpretar hábilmente el criterio del arquitecto clásico. Aunque la edición de Fra Giovanni Giocondo, impresa en Venecia en 1511, fue realizada cuando aún vivía Leonardo y éste pudo haberla conocido, ya no habría influido en su dibujo de las proporciones de la figura humana. Fra Giocondo fue el primero en hacer una edición crítica de la obra de Vitruvio, empleó material de diferente procedencia, no dejó lagunas, reconstruyó las partes griegas, produjo más de 136 ilustraciones, elaboró un glosario y una tabla matemática para comprender el texto. El éxito de esa edición determinó su reimpresión en 1513, 1522 y 1523. El texto y las ilustraciones de Fra Giocondo influyeron en las ediciones de De Architectura en el siglo XVI. Sin embargo, pese a que el dibujo de Leonardo fue conocido y utilizado por artistas y estudiosos desde esa época, hasta donde se conoce no fue tomado en cuenta en ediciones posteriores ilustradas, que no tienen la correcta interpretación que él hizo del postulado de Vitruvio sobre las proporciones humanas. Actualmente, las más antiguas y conocidas de esas ilustraciones son las de Francesco di Giorgio Martini y Cesare di Lorenzo Cesariano. Se puede entender que, en los siglos en los que hubo mayor interés práctico por la obra de Vitruvio, los editores hubiesen pretendido unidad y originalidad en la recreación de las ilustraciones que se habían perdido; pero no se utilizó el dibujo de Leonardo en ediciones tan tardías como la de Perrault que, casi dos siglos después, ensayó una solución insatisfactoria de lo que ya estaba resuelto, al mantener la misma distancia entre las líneas horizontales que corresponden a la coronilla y a los pies, sin tomar en cuenta que la estatura disminuye si se abre las piernas. |
BACKGROUND AND SURROUNDINGSFrom the discovery in 1414 on (without its illustrations due to having lost them) of a handwritten copy of the book of Vituvio, with the principles of the classic architecture the interest for the past, of artists, architects and maecenas, motivated that the task of making intelligible that work firstly fall on scholars, humanists, archaeologists, antiquarians, philologists and grammarians, giving origin to a variety of treaties [5], from the work of Alberti that remembers Vituvio, and to numerous editions of the book of the latter, one on the XV century and at least eleven on the XVI century. Assuming that Leonardo made his drawing between 1485 and 1490, besides of having been able to know manuscripts of the work of Vitruvio, the only edition of which in its time that could have been taken into account would be the one that is supposed to be printed in Rome between 1486 and 1492, that begins with a note of the editor, Iohannes Sulpitus di Veroli and is considered the first edition of the work, Sulpitus used the most known manuscripts, but left blank spaces for the Greek terms, the epigrams and the illustrations; of these he only tried one, a circle. Also Leonardo could consider the work of Alberti De re aedificatoria printed on 1485; but it is possible that he previously had it available, because more than thirty years elapsed since its presentation. On the other hand, it is evident that he read the treatise Francisco di Giorgio Martini made on basis of the work of Vitruvio. With which Leonardo has had, besides the knowledge of manuscripts, at least three references about it and, knowing so much of human anatomy, could skillfully interpret the criterion of the classic architect. Although the edition of Fra Giovanni Giocondo, printed in Venice on 1511, was done when Leonardo still lived and could have known it, he no longer could have influenced on the drawing of the proportions of the human figure. Fra Giocondo was the first in doing a critical edition of Vitruvio's work, he employed material of different origin, did not leave gaps, reconstructed the Greek parts, produced more than 136 illustrations, prepared a glossary and a mathematical table for understanding the text. The success of this edition determined its reprint on 1513, 1522 and 1523. The text and illustrations of Fra Giocondo influenced on the editions of De Architectura on the XVI century. However, though the drawing of Leonardo was known and used by artists and scholars since that time, as far as it is known has not been taken into account in subsequent illustrated editions, that lack the correct interpretation he made of the postulate of Vitruvio about the human proportions. At present, the oldest and most known of these illustrations are those of Francesco di Giorgio and Cesare di Lorenzo Cesariano. It can be understood that, on the centuries where higher practical interest existed for the work of Vitruvio, the editors had pretended unity and originality in the re-creation of the illustrations that had been lost; but the drawing of Leonardo was not used in editions so late as the Perrault's that, almost after two centuries, tried an unsatisfactory solution of what had already been solved, keeping the same distance between the horizontal lines that correspond to the crown of he head and the legs, without considering that the height decreases if the legs are opened. |
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GEOMETRIA MANIFIESTA Y OCULTAHasta la actualidad se ilustra ediciones de De architectura con antiguos dibujos pero no con el de Leonardo, que interpretó a Vitruvio, aunque con la incorporación del valor de p como diámetro del círculo y los definidos por la Sección Aurea localizada en el ombligo; separación entre el valor del Numero de Oro, F, y el de 1 en la estatura de la figura humana. Estas modificaciones, señaladas claramente en el esquema de Leonardo, determinan la diferencia entre el valor de F y el de p/2, (0,04723....), que equivale a un 1,8 % de la estatura del hombre representado. De lo que no escribió Vitruvio: la disminución en 1/14 de la estatura de la figura es una innovación de Leonardo. Aunque siempre se ha pensado que tomando como centro el ombligo se forma un triángulo isósceles en vez de uno equilátero, sin éste no se lograría la fracción establecida por él. Se dice que Vitruvio no escribió algo relativo a que ‘con los dedos de las manos se alcanza la línea que delimita el extremo superior de la cabeza’; pero, al referirse al cuadrado implicaría que los brazos extendidos, tanto hacia arriba como lateralmente, alcanzan a los lados del cuadrado. Leonardo dejó deliberadamente, en su dibujo y escritos, cinco claves que se tomó en cuenta en la decodificación de su esquema: la ubicación del punto que define la Sección Aurea en el ombligo, la diferente localización del centro del círculo y el diámetro de éste igual a p, el valor de 1/14 en la disminución de la estatura y el planteamiento de la formación de un triángulo equilátero. Con esos datos, se pudo hallar la solución gráfica de la ‘cuadratura del círculo’; con valores matemáticos concluyentes, para un problema cuya solución se consideró imposible de lograr, durante milenios, pero que Leonardo conoció y ocultó en forma críptica. |
REVEALED AND HIDDEN GEOMETRYUp to now illustrations of De archithecture with old drawings but not with the one of Leonardo, that interpreted Vitruvio though with the incorporation of the value of p as diameter of the circle and those defined by the Golden Section located at the navel, separation between the value of the Golden Number, F, and the value of 1 in the height of the human figure. These modifications, clearly indicated in the scheme of Leonardo, determine the difference between the value of F and of p/2, (0.04723....), that is equivalent to an 1.8 % of the height of the represented man. From what Vitruvio did not write, the decrease of 1/14 in the height of the figure is an innovation of Leonardo. Although it has always been thought that taking the navel as center of the figure an isosceles triangle is formed instead of an equilateral one, without this one the established fraction would not be achieved. It is said that Vitruvio did not write something related to that 'with the fingers of the hand the line that limits the upper end of the head is obtained'; but, when referring to the square this would imply that the arms extended, both upside and laterally, reach the sides of the square. Leonardo deliberately had left, in his drawing and writings, five codes that were taken into account in the decoding of his scheme: the location of the point that defines the Golden Section in the navel, the different location of the center of the circle and its diameter equal to p, the value of 1/14 in the decrease of the height and the exposition of the formation of an equilateral triangle. With this data, the graphic solution of the 'quadrature of the circle' could be found, with conclusive mathematical values, for a problem whose solution was considered as impossible to be achieved during millenniums, but that Leonardo knew and hid in cryptic form. |
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DEL CUADRADO AL CIRCULOCon centro en el punto medio del lado inferior del cuadrado y como radio la distancia hasta el extremo inferior de una de las cuerdas laterales del círculo con diámetro p, se traza una circunferencia para conseguir el círculo A, con área igual a la del cuadrado dado. Esa misma circunferencia, en su intersección con el eje vertical del cuadrado, señala el centro del círculo B que, tangente al lado inferior del cuadrado, obviamente tiene igual superficie que éste. Con el centro del círculo como vértice de un ángulo de 60°, que tiene por bisectriz al eje vertical, se forma un triángulo equilátero que tiene de base la cuerda con flecha igual a F2/14. Con el procedimiento indicado se logra un círculo de igual área que la de un cuadrado dado, con la intervención de F y de p, cumpliéndose además lo establecido por Leonardo. Además, en el dibujo de Leonardo, se observa que las líneas que unen los vértices inferiores del triángulo equilátero con el punto localizado en el eje vertical, a una distancia del centro del círculo dado igual a la cuarta parte de un lado del exágono, en su proyección alcanzan los vértices superiores y opuestos del cuadrado; y que la alineación de la recta que une la intersección de la prolongación del lado inferior del cuadrado con la circunferencia del círculo A, forma un ángulo igual a cos-1 de 1/F, pasa por la Sección Aurea y confirma la ubicación de la intersección de la circunferencia del círculo B con un lado del cuadrado. Se debe tomar en cuenta que las alineaciones, circunferencias, ángulos y tangencias, que se encontró en el diseño de Leonardo, y se utilizó en la construcción para encontrar puntos significativos de su decodificación, determinan la coherencia geométrica de todo el conjunto y, además, tienen correspondencia con partes definidas de la figura humana. La solución específica que se decodificó, para que a partir de un cuadrado con lado F2, con la participación de un círculo con diámetro p, se logre otro círculo con igual área que la de ese cuadrado, tiene como clave que el radio que genera el círculo A, al rotar 2° sobre el mismo centro, determina el radio del círculo B y un lado del exágono regular inscrito en éste. La traslación del sistema del círculo con diámetro p y el cuadrado de lado F2, a otro donde el cuadrado dado y el círculo oculto tienen áreas iguales, constituye el artificio para esa solución. |
FROM THE SQUARE TO THE CIRCLEWith center in the middle point of the lower side of the square and as radius the distance to the lower end of one of the lateral chords of the circle with diameter p, a circumference is drawn for obtaining the circle A, with area equal to that of the given square. That same circumference, in its intersection with the vertical axis of the square, indicates the center of the circle B that, tangent to the lower side of the square, obviously has an area equal to such square. With the center of the circle as vertex of an angle of 60°, that has as bisector to the vertical axis, an equilateral triangle is formed having as basis the chord with sagitta equal to F2/14. With the indicated procedure a circle is achiever with area equal to the given square, with the intervention of F and of p, complying further what was established by Leonardo. Moreover, on the drawing of Leonardo, it is noticed that the lines that put together the lower vertexes of the equilateral triangle with the point located in the vertical axis, at a distance from the center of the given circle equal to the fourth part of one side of the hexagon, in their projection reach the upper and opposed vertexes of the square, and that the alignment of straight line that puts together the intersection of the prolongations of the bottom side of the square with the circumference of the circle A, forms an angle equal to cos-1 of 1/F, passes by the Golden Section and confirms the location of the intersection of the circumference of the circle B with one side of the square. It must be taken into account that the alignments, circumferences, angles and tangencies found in the drawing of Leonardo and used in the construction for finding significant points of its decodification, determines the geometric coherence of all the assembly and, moreover, has correspondence with defined parts of the human figure. The specific solution that has been decoded, so that on basis of a square with side F2, with the participation of a circle of diameter p, other circle be obtained with equal area than that of that square, has as key that the radius that generates the circle A, when rotates 2° on the same center, determines the radius of the circle B and one side of the regular hexagon inscribed in it. The translation of the system of the circle with diameter p and the square of side F2, to another one where the given square and the hidden circle have equal areas, constituting the trick for this solution. |
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DEL CIRCULO AL CUADRADOPara atender al postulado original del problema, que dice que partiendo de un círculo dado sólo ‘con compás y regla sin graduar’ se obtenga un cuadrado que tenga la misma superficie, se hizo abstracción del círculo y del cuadrado dibujados por Leonardo y se partió del círculo que él ocultó, con la incorporación de: una línea tangente a ese círculo, una perpendicular levantada en el punto de tangencia, dos lados del exágono inscrito y de un arco circular con igual radio que el del círculo dado con centro en el mismo punto de tangencia. Con un radio igual a la cuarta parte de un lado del exágono se dibujó tres círculos auxiliares iguales; dos de ellos con sus centros en la mitad de los lados dibujados del exágono, en la parte opuesta a la tangente; y, con el mismo centro del círculo dado, el tercero. Con centro en la intersección de éste con la perpendicular, tomando como radio la distancia hasta la mitad de las cuerdas, se hizo otro círculo. Con el radio anterior, con centros en las intersecciones del arco circular con el mismo tercer círculo auxiliar, se trazó otros dos círculos. Las intersecciones de éstos con el arco circular señalan los puntos clave para definir la ‘cuadratura del círculo’. En efecto, la línea que une cada uno de dichos puntos con las intersecciones de los círculos trazados sobre las cuerdas con éstas (en su parte más alejada de la perpendicular), en su prolongación hasta la línea tangente definen sobre ésta la longitud del lado del cuadrado de igual área que la del círculo dado. |
FROM THE CIRCLE TO THE SQUAREFor taking care of the original postulate of the problem that states that starting from a given circle only 'with compass and ruler without graduation' a square be obtained having the same area, abstraction has been made from the circle and the square drawn by Leonardo and it has been started from the circle he did hide, with the incorporation of a line tangent to that circle and a perpendicular lifted at the point of tangency, two sides of the inscribed hexagon and a circular arch of same radius than the given circle with center in the same point of tangency. With a radious equal to the fourth part of one side of the hexagon three auxiliary equal circles were drawn; two of them with its centers at the middle of the drawn sides of the hexagon, in the part opossed to the tangent; and, with the same center of the given circle, the third one. With center in the intersection of this with the perpendicular, taking as radious the distance to the middle of the chords. another circle was made. With the former radious, with center in the intersections of the circular arch with the same third auxiliary circle, another two circles were made. The intersections of these with the circular arch indicate the key points for defining the ‘quadrature of the circle’. Indeed, the line that joins each one of such points with the intersection of the circles drawn on with these (on its part that are more away from the perpendicular), in its prolongation up to the tangent line defines about this the length the side of the square of the same area than that of the given circle. |
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BIBLIOGRAFIA BIBLIOGRAPHY1. DA VINCI, LEONARDO. Tratado de la Pintura. Edición preparada por Angel González García. Editorial Nacional. Madrid, 1980. 2. DA VINCI, LEONARDO. Tratado de la Pintura. Traducción al castellano sobre el original francés de André Keller por Angeles Cardona. Reimpresión íntegra de la edición italiana de Bolonia (1786), publicada en París por Rafael Trichet de Fresne. Editora de los Amigos del Círculo del Bibliófilo. Barcelona, 1979. 3. VITRUVIO POLLIO, MARCO. Los Diez Libros de Arquitectura. Traducción al castellano por José Oliver Domingo. Introducción de Delfín Rodríguez Ruiz, Alianza Editorial. Madrid, 1995. 4. VITRUVIO POLLIO, MARCO. Los Diez Libros de Arquitectura. Traducción directa del latín al castellano, prólogo y notas de Agustín Blánquez. Editorial Iberia S. A., Barcelona, 1991 5. WIEBENSON, DORA. Los Tratados de Arquitectura. Editorial Hermann Blume, Madrid, 1988. |
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