GEOMETRÍA EN EL ANTIGUO EGIPTO
CARLOS CALVIMONTES ROJAS
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Excavada en el lado izquierdo del Valle de los Reyes, entre muchas otras del Imperio del Nuevo Egipto, se encuentra la tumba de Ramsés IX (siglo XI a.C.). Es la primera que encuentra el visitante, después de cruzar la puerta de entrada al lugar. Ahí se encuentra el dibujo de una figura humana, una serpiente que forma un ángulo recto y un escarabajo en un conjunto de rectángulos.
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A mediados del siglo XX, R. A. Schwaller de Lubicz encontró que dicha figura humana está apoyada en la hipotenusa de un triángulo rectángulo 3-4-5 cuyos catetos están configurados por la serpiente. También creyó haber encontrado los valores proporcionales de p y F relacionados con la figura humana pero sus cálculos y demostraciones gráficas no muestran resultados satisfactorios.
Los resultados que se presenta a continuación corresponden al análisis de dicho dibujo en su integridad. Éste reúne un conjunto de soluciones geométricas, proporciones antropométricas y los valores de p y F, en un ingenioso testimonio perdurable de conocimientos de una remota época y oculto como se hizo en otros diseños representativos de remotas culturas.
El dibujo contiene dos conjuntos: uno es el del escarabajo y dos rectángulos; el otro el de la figura humana y la serpiente. Los dos conjuntos son independientes, tanto en su diseño como en su interpretación. Para motivar ésta se dejó en el dibujo algunas señales que, por su posición, dimensión, proporción y geometría, se pudiesen singularizar y, en algunos casos, asociar.
Por lo que se ha observado en casos semejantes, en testimonios del conocimiento de la geometría en las remotas culturas de Sumer y Tiwanaku, por la presencia de las numerosas señales y pautas encontradas sobre todo en el segundo conjunto se asumió que éste encriptaba varios mensajes y que era necesario discernir de señas y pautas las que servirían para descifrar cada uno.
En el desarrollo del estudio se fue encontrando indicios que si bien eran claros no eran para un solo mensaje, haciendo ver que se había empleado el mismo grafico para ocultar diferentes planteamientos. Para agrupar las señas y descubrir pautas de lectura diferente para cada mensaje, se buscó cómo hacer alineaciones, dibujar figuras geométricas, dimensionar éstas y encontrar centros de círculos, en un prolongado proceso iterativo yendo de lo más simple a lo complejo.
En la configuración del conjunto del escarabajo se ocultan dos rectángulos áureos pues tienen por lados 1 y F. El otro, a la izquierda, está dividido significativamente en 5 columnas (el 5 es esencial para el conocimiento de F) y tiene por lados p y F.
La figura humana (en la hipotenusa) con la serpiente (en los catetos) hacen un triángulo rectángulo 3-4-5. El brazo extendido, en la prolongación del cateto con valor 4, hace otra unidad para mostrar la forma de resolver ese tipo de triángulos en esa cultura como se lo hacía en Sumer 10 siglos antes:
En los triángulos rectángulos cuyos lados se miden con números enteros si: la hipotenusa es impar, un cateto es impar siendo el otro par y la diferencia entre el mayor y la hipotenusa es de 1 ó 2; el valor de la hipotenusa es igual al cateto mayor más 2 si el cateto menor es par y más 1 si es impar.
Es conocido que Pitágoras, seis siglos más tarde, estuvo más de veinte años en viajes de estudio en Egipto, Mesopotamia (donde estuvo Sumer), Biblos, Tiro, Siria e India. Es muy posible que haya conocido el dibujo en la tumba de Ramsés y la solución sumeria (registrada por Gudea en su escultura más conocida). Después se haría famoso por la solución del triángulo rectángulo con los cuadrados apoyados en sus lados.
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Las señas de los ángulos rectos que forma la serpiente en su cuello y en su parte central, los extremos del pie de la figura humana y la dirección que indica la barba, determinan la configuración de un cuadrado; y, el falo muestra la dirección de la diagonal de esa figura geométrica. Con la misma escala del triángulo y asociado a él, el cuadrado tiene una superficie de 12,5 y su diagonal mide 5. La prolongación de la hipotenusa cruza a la de la alineación definida por el extremo del falo, la punta de la nariz y el dorso de la mano. La distancia entre esa intersección y la de la hipotenusa y el cateto con valor 4, es el radio de un círculo con superficie 12,56... El conjunto de cuadrado y círculo es una solución sencilla de la ‘cuadratura del círculo’, pero con una discrepancia del 0,5%. Probablemente sería la más antigua conocida y demostrada, según el planteamiento: A partir de un círculo construir un cuadrado que tenga la misma superficie, solo con el empleo de un compás y una regla sin graduar.
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Solución A
La intersección de la diagonal del cuadrado con la hipotenusa marca el centro de un círculo que tiene como radio la distancia a los extremos de la cabeza y del pie de la figura humana. Asumiendo el giro de ésta para poner su eje paralelo al cateto con valor 4, considerando que es propio del hombre tener su altura equivalente a F2 su ombligo señala la sección áurea con la división de 1 y F, alineado con el punto inferior de la basa del falo.
Siendo el diámetro del círculo equivalente a F2, éste más la unidad añadida al cateto con valor 4, hasta el extremo del brazo extendido, determina el valor proporcional de p. Los valores de p y de F pueden ser como los que ahora se conoce, dependiendo del trazado y tamaño de las figuras geométricas; sin embargo, el análisis trigonométrico establece un margen de discrepancia del 1 por mil; para dar 3,14 en vez de 3,1415 en el caso de p y de 1,62 en vez de 1,618 en el caso de F.
Solución B
Con el mismo diseño empleado en la lectura para encontrar la Solución A, se consigue el círculo. Igualmente, se hace girar la figura humana hasta su posición vertical, pero con una estatura menor, teniendo como límites la parte superior del círculo y la base del cuadrado; obviamente esa altura es equivalente a F2 , al ser la proporción del hombre; sin embargo, no hay una señal para ubicar F en el ombligo en relación con alguna señal en la figura humana.
Con centro en el vértice formado por la hipotenusa y el cateto con valor 4, y con un radio con valor 1 señalado por el brazo extendido en la dirección de ese cateto, se traza un arco circular hasta interceptar la prolongación de la hipotenusa, lográndose en la dirección vertical una dimensión de 0,8 que añadida a la del mismo cateto da 4,8 para, proporcionalmente, mostrar el valor de p.
Por la solución trigonométrica, o por la congruencia de triángulos, se determina que si la altura del hombre es 4 y se la iguala a F2, la longitud total de 4,8 equivale a un p de 3,1416..., con una diferencia menor a 4 en cien mil del valor conocido ahora. Este resultado podría mostrar que en esa cultura se conociese la razón entre 4,8 y 4 (igual a 1,2), como se empleó en otras culturas y épocas, para relacionar a p con F, por medio de F2 que es el paradigma de la proporción humana.
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En el libro Secretos de la Gran Pirámide (Peter Tompkins, México, 1989), se menciona el descubrimiento realizado por R. A. Schwaller de Lubicz del triángulo 3-4-5 y de los valores de p y F en el dibujo que se halla en la tumba de Ramsés IX. Él habría establecido que el falo divide al cuerpo en 1 y F, dando un total de F2. La longitud de la hipotenusa, 5 ó 1, es mayor que la estatura de la figura humana representada, aunque, la altura total de ésta con el brazo levantado sea de 6 ó 1,2. Sin embargo, aunque la razón entre p y F2 es aproximadamente 1,2 no corresponde a las proporciones señaladas en el segundo dibujo. Además, según las proporciones antropométricas, es imposible que el falo divida a la figura humana en 1 y F. Es decir, el primer dibujo sólo expresa la relación de la longitud de la hipotenusa con la altura señalada por el brazo levantado por el personaje (5 y 6, ó 1 y 1,2), sin tomar en cuenta la altura del hombre. El segundo dibujo muestra F2, equiparando Ö5+3 con un valor de 1; y, la longitud que se muestra como 1,2 F2 equiparada con Ö5+4 tiene un valor proporcional de 3,118... que está lejos de ser el de p. A pesar de esos errores, se reconoce que Schwaller de Lubicz encontró el triángulo 3-4-5 e intuyó la presencia de p y de F. |
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