EL ARQUITECTO DEL PLANO

THE ARCHITECT OF THE PLAN

El descubrimiento sobre las proporciones armónicas en los sistemas de medidas sumerias se originó en el estudio de las esculturas de Gudea sedente, conocidas como El Arquitecto del Plano y El Arquitecto con Regla, conservadas en la Sala de Antigüedades Orientales del Museo del Louvre.

De Gudea ("el llamado”), importante personaje del Renacimiento de Sumer, gobernador de Lagash (2141-2122 a. C.), se ha dicho mucho, incluso que fue un dios. Es el primer gran arquitecto de quien se ha documentado su existencia, y ha sido el hombre más retratado de la antigüedad.

The discovery about the harmonic proportions in Sumerian systems of measures was originated in the study of the seated Gudea sculptures known as The Architect of the Plan and The Architect with the Ruler, preserved in the Eastern Antiquities Room of the Louvre Museum.

Much has been said regarding Gudea ('the called'), an important personality of the Sumer Renaissance and governor of Lagash (2141-2122 BC), including that he was a god. He was the first documented great architect, and the most portrayed man of antiquity.

EL ARQUITECTO DE LA REGLA

THE ARCHITECT OF THE RULER

SERIES DE MEDIDAS LINEALES

CAMPO DE ESTUDIO

Resultados parciales de la investigación realizada sobre las medidas y proporciones que se encuentran en las esculturas El Arquitecto del Plano y El Arquitecto con Regla, motivaron el estudio de medidas lineales utilizadas en la antigüedad en el Oriente Medio, con la hipótesis de que se encontraría en el dimensionamiento de ellas la presencia de proporciones antropométricas.

Después de un análisis preliminar de un conjunto de sistemas de medida lineales, se definió como campo de estudio dos series directamente relacionadas con la época de Gudea que, por las derivaciones de su interpretación, fueron por convención denominadas pF y F (NÚMERO DE ORO)

No se atribuye esos sistemas de medida a Gudea pero fueron usados en su época, con la posibilidad de que él hubiese intervenido en algún ajuste a uno de esos sistemas debido a que una de sus medidas lleva su nombre, la medida llamada codo de Gudea famosa en la antigüedad; por otra parte, se ha demostrado que ambos sistemas están relacionados entre sí. En consecuencia, se considera pertinente la incorporación de los resultados de ese análisis.

El producto logrado se expresa con el empleo de cifras de un contexto actual, las longitudes del Sistema Métrico Decimal, obviamente distinto al del momento de su planteamiento original con criterios sexagesimales. Se destaca que el descubrimiento en este caso no es de algo que haya sido ocultado en el contexto previo, sino de algo implícitamente existente en éste e interpretado en otro actual.

DESCRIPCIÓN GENERAL DE LAS SERIES

El valor proporcional matemático, valor con base pF o F, es según el caso sólo una representación, aunque en forma muy determinante, de las magnitudes concretas que tuvo cada serie en su forma original, y presenta cifras asociadas al sistema sexagesimal mucho más representativas, en cuanto magnitudes y progresión, que las que se observa en las columnas que corresponden a los factores escalares de cada una en términos absolutos, observados en estudios arqueológicos o resultantes del análisis.

A diferencia del Sistema Métrico actual con una unidad de medida que es la central y generadora de la serie a la que corresponda, en las dos series estudiadas se encontró una medida central y otra generadora. En ambos casos la medida central es Qanu, debido a que es la única expresión común en ellos y que debió ser utilizada como patrón de medida en el uso práctico; esto se confirma porque ese nombre tiene importancia semántica por su semejanza fonética con la palabra canon (a través del griego canvn y de éste al canon latino) y sería el origen remoto de la que tiene uso actual en muchas lenguas (con el significado de regla, modelo, proporción, medida o modelo), y utilizada en la referencia a la regla de las proporciones de la figura humana en las culturas clásicas de occidente.

En cambio, en cada serie por los valores calculados mediante el empleo de la base pF o F, la medida generadora está caracterizada por ser la forma más simple de la aplicación de esa base según el caso, con valor inmediatamente inferior al Qanu correspondiente; en el primer caso es la medida del suelo al ombligo del normotipo, o sea su F personal; y en el segundo al codo mayor de su normotipo.

SERIES OF LINEAR MEASUREMENTS

FIELD OF STUDY

Partial results from the investigation carried out on the measurements and proportions found in the sculptures The Architect of the Plan and The Architect with Ruler motivated the study of linear measurements used in antiquity in the Middle East, with the hypothesis that the presence of anthropometric proportions would be found within their dimensions.

After an initial analysis of a grouping of linear measurement systems, two series directly related to the period of Gudea were identified as field of study. Due to the derivations in their interpretation, these were named pF and F (GOLDEN NUMBER)

These systems were not attributed to Gudea but were used in his time, with the possibility that he would have intervened with some adjustments in one of them indicated by the fact that one of the measurements has his name, the once famous Gudea Cubit. Also, it has been demonstrated that both systems are related, and as a consequence the incorporation of the results of this analyses is considered to be relevant.

The product achieved is expressed with the use of figures from a present context -the longitudes of the Metric Decimal System obviously different to that of origin, which used sexagesimal criteria. It should be pointed out that discovery in this case is not something which has been hidden in a previous context but rather something implicit in this and interpreted in another now existent.

GENERAL DESCRIPTION OF THE SERIES

The proportional mathematical value, a value with base pF or F, is according to the case only a representation, although in a determinant form, of the concrete magnitudes that each series had in its original form. It also presents much more representative figures associated with the sexagesimal system, with reference to magnitude and progression, than those observed in the columns that correspond to the scale factors of each in absolute terms, these observed in archaeological studies or resulting from analysis.

Unlike the present Metric System, with a unit of measurement that is the central and the generator of the series to which it corresponds, in the two series studied there are found a central measure and another generator. In both cases the central measure is Qanu , owing to the fact that it is the only common expression and had to be used as the measurement pattern in practical use. This is confirmed because the name has semantic importance due to its phonetic similarity with the word canon (through the Greek canvn and from this to the Latin canon); it would be the remote origin of that which has present use in many languages (with the meaning ruler, model, proportion, measurement or model) and used in reference to proportions of human figures in the classical cultures of the West.

However, in each series, according to the values calculated through the use of the base pF or F, the measurement generated is characterized by its being the most simple form of application of that base, according to the case, with a value immediately inferior to that of the corresponding Qanu. In the first case it is the measurement of the ground to the navel of the normotype, or rather its personal F, and in the second to the greater cubit of its normotype.

INTERPRETACIÓN DE LA SERIE pF

Con el mega contexto utilizado en la interpretación, la Serie tiene la peculiaridad de la incorporación de F, que forma parte de dos factores escalares y de un valor proporcional matemático. Se trata de la medida llamada Gran U que, según los arqueólogos, habría sido una medida independiente, seguramente debido a que no se encontró un factor escalar fácilmente explicable, dentro de las series conocidas de esa época.

La medida Gran U, de gran semejanza con el metro actual, es la inmediata superior a la llamada U, aparte de la relación de la denominación de ambas, por la demostración matemática de su relación; si se multiplica el valor de U por 6/F se tiene el valor de la medida Gran U y si se multiplica el valor de ésta por F se obtiene la magnitud de la medida Qanu de la misma Serie.

Con ese contexto, la medida Gran U es la generadora de la Serie, por su identificable valoración armónica y antropométrica por ser el F de la persona considerada como normotipo, y la significación de su valor proporcional matemático como el más simple de la Serie.

Por lo tanto, Qanu es equivalente a la altura de una persona de casi 1,65 m (1,6449); es decir, si la medida Gran U (1,0166 m) se considera como la distancia del suelo al ombligo de una persona es el F de ésta y Qanu, que es un Gran U multiplicado por F, representa la estatura de la persona normotipo de la Serie. Este hecho corrobora el origen de la palabra canon, especialmente como regla de las proporciones de la figura humana.

Como consecuencia de la intervención de las dos medidas que definen la estatura de una persona en la Serie y el rango entre los extremos de ésta, se considera que los múltiplos de la medida Qanu y los submúltiplos de la medida Gran U pudieron haber sido empleados para medir obras arquitectónicas, vestuario, utensilios, instrumentos y materiales de uso doméstico o de trabajo.

INTERPRETATION OF THE SERIES pF

With the mega-context used in the interpretation, the Series has a peculiarity in the incorporation of F, which forms part of two scale factors and a proportional mathematical value. It is concerned with the measurement known as Great U, which, according to archaeologists, would have been an independent measurement, certainly due to there not being found a scale factor which is easily explained within the series known from this period.

The measurement Great U, very similar to the actual meter, is immediately superior to that known as U, apart from the relationship of the denomination of both, due to the mathematical demonstration of its relationship. Thus if the value U is multiplied by 6/F the value of the measurement Gran U is obtained and if the value of this is multiplied by F the magnitude of the measurement Qanu of the same Series also.

With this context, the measurement Gran U  is the generator of the Series due to its identifiable harmonic and anthropometric value, as F is of the person considered as normotype, and the meaning of its proportional mathematical value is the most simple in the Series.

As such, Qanu is equivalent to the height of a person of almost 1.65 m (1.6449), that is to say if the measurement Great U (1.0166 m) is considered as the distance from the ground to the navel of a person, it is the F of this and then Qanu, which is an Gran U  multiplied by F, represents the height of the normotypical person in the Series. This fact corroborates the origin of the word canon, especially as a ruler for the proportions of the human figure.

As a consequence of the intervention of the two measurements which define the stature of a person in the Series and the range between its two extremities, it is considered that the multiples of the measurement Qanu and the sub-multiples of the measurement Great U could have been used to measure architectonic works, furniture, utensils, instruments and materials for domestic or work purposes.

1.      Serie del antiguo Oriente Medio, con denominación convencional en este estudio. Fue encontrada en la parte alta de Mesopotamia y conocida como la Serie de Khorsabad, la antigua Dûr Sharrukîn de Sargón. Se ha realizado su estudio por haberse encontrado su representación proporcional en dos esculturas de Gudea: El Arquitecto del Plano y en El Arquitecto de la Regla. Se trataría de una antigua serie que, habiéndose empleado en el Renacimiento de Sumer, llegó hasta el período asirio. Su interpretación en el contexto del Sistema Métrico Decimal demuestra que en su diseño (en el contexto del sistema sexagesimal) se habría aplicado criterios sobre las proporciones antropométricas, de alguna forma relacionadas con p.

2.      En la sección Ancient Measures and Weights de la Enciclopedia Británica, 1948. En posteriores ediciones se suprimió algunas cifras y detalles.

3.      pF es la mitad del perímetro de un círculo con radio F -Círculo Áureo-. La asociación de éste con el cuadrado de lado F² -Cuadrado Áureo-, es la que empleó Leonardo da Vinci para mostrar las proporciones antropométricas.

4.      Interpretación que corresponde a p = YF².

5.      Equivalencia de las medidas en el Sistema Inglés en el Sistema Métrico Decimal.

6.      Cantidad por la que se multiplica el valor de la medida para encontrar la inmediata superior.

7.      Valor proporcional matemático. Nótese la claridad con que se manifiesta, en las dos interpretaciones, la base sexagesimal correspondiente al sistema empleado en esa civilización.

8.      Valor proporcional en el Sistema Métrico Decimal.

9.      2.160 = 6² x 60

10.    108= 6² x 3

11.  Ö2F² es la diagonal de un cuadrado con lado F² -Cuadrado Áureo-. Ver la nota 3.

12.  Aunque en otros estudios se ha considerado que esta medida, muy semejante al metro actual, no perteneció a la Serie, se la puede interpolar con precisión mediante la intervención de pF. Por esa razón y por su misma denominación que alude directamente al nombre de la medida inmediatamente inferior, fue seguramente parte de esa Serie, con algún carácter especial por su relación directamente armónica con la medida inmediatamente superior, Qanu. La medida Gran U equivale al arco de un lado de un pentágono regular con radio F -Pentágono Áureo-.

13.  Medida cuyo nombre por su antigüedad y la importancia semántica que tiene por su semejanza fonética con la palabra canon, sería el remoto origen ésta, como regla, proporción, medida o modelo, con uso actual en muchas lenguas a través de las clásicas occidentales, y que fue utilizada para la referencia a las proporciones humanas en las culturas clásicas de occidente.

1.      Series from ancient Middle East, with conventional denomination in this study. Found in the upper area of Mesopotamia and known as the Khorsabad Series, ancient Dûr Sharrukîn de Sargón. Study has been carried out due to discovery of its proportional representation in two Gudea sculptures: The Architect with Plan and The Architect with Ruler. It concerns a ancient series which, having been used in the Sumer Renaissance, continues until the Asyrian period. Interpretation in the context of the Metric Decimal System shows that in the design (in the sexagesimal system) there would have been applied criteria to the anthropometric proportions, in some way related to p.

2.      In the Ancient Weights and Measures section of the Encyclopedia Britannica, 1948. In later editions some figures and details were superseded.

3.      pF is half the perimeter of a circle with radius F –Golden Circle–. Association of this with the square of side F² –Golden Square– was used by Leonardo da Vinci to show anthropometric proportions.

4.      Interpretation which corresponds to p = YF².

5.      Equivalence of measures in the English System in the Metric Decimal System.

6.      Quantity by which value of the measure is multiplied in order to find upper immediate.

7.      Proportional mathematical value. Note in the two interpretations the clarity with which the sexagesimal base corresponding to the system used by this civilization is shown.

8.      Proportional value in the Metric Decimal System.

9.       2.160 = 6² x 60

10.      108= 6² x 3

11.  Ö2F² is the diagonal of a square with side F² –Golden Square–. See note 3.

12.  Although other studies have considered that this measure, very similar to the present meter, does not belong to the Series, it can be interpolated with precision through the intervention of pF. For this reason and for its naming, which alludes directly to the name of the measure directly below, it was certainly part of the Series, with a special character indicated by its directly harmonic relationship with the measurement immediately above, Qanu. The measure Great U is equal to the arc of one side of a regular pentagon with radius F –Golden Pentagon-.

13.  Measure whose name, according to its age and semantic importance -due to its phonetic similarity with the word canon would be the distant origin of this, meaning rule, proportion, measure or model, with present use in many languages through the western classics. Used for references to human proportions in the western classic cultures.

INTERPRETACIÓN DE LA SERIE F

INTERPRETACIÓN DE LA SERIE F

La medida generadora de la Serie es la denominada Ammat, debido a que su magnitud, de gran importancia en la antigüedad y conocida como el codo de Gudea (según los arqueólogos el origen de los codos del Oriente Medio), tiene referencia en una magnitud de origen antropométrico que tendría ese rol de medida generadora y es semejante a los codos mayores del extenso repertorio existente en esa época.

La Serie con su medida Ammat, tuvo como normotipo a una persona con estatura de 1,76 m, mediante la multiplicación de esa medida por 3,33; por lo que se explica más adelante, sobre la igualdad de la longitud de un codo mayor con la de un paso regular, dentro de la diversidad de codos.

A partir de la medida Ammat, que proporciona mayor operabilidad práctica, se calcula los múltiplos y submúltiplos de la Serie. Por la generación de esa medida y por las dimensiones de las más grandes de Serie que, con la medida Kaspu llega a más de 11 Km, es posible que ella haya sido utilizada para medir recorridos y obras urbanísticas, viales o hidráulicas.

INTERPRETATION OF THE SERIES F

The generating measure of the Series is the so-called Ammat, owing to the fact that its magnitude, of great importance in antiquity and known as the Gudea Cubit (according to archaeologists the origin of the cubits of the Middle East) has reference in a magnitude of anthropometric origin. This magnitude would have this role of generating measurement, and is similar to the great cubits of an extensive repertory in this period.

The Series, with its measurement Ammat, had as a normotype a person of height 1.76 m, through the multiplication of this by 3.33, by that which is explained further on, over the equalness of the length of a great cubit with that of a normal step, within the diversity of cubits.

From the measurement Ammat, which provides greater practical operability, multiples and sub-multiples of the Series are calculated. By the generation of this measurement and the dimensions of the biggest of the Series which, with the measurement Kaspu, reach more than 11 Km, it is possible that it was used to measure journeys and urban works, route and hydraulic works.

1.      Serie del antiguo Oriente Medio, con denominación convencional en este estudio. Conocida en Sume, puede constituir una serie de las más antiguas de esa región. Su interpretación en el contexto del Sistema Métrico Decimal demuestra que en su diseño (en el del sistema sexagesimal) se habría aplicado criterios sobre las proporciones antropométricas.

2.      En la sección Ancient Measures and Weights de la Enciclopedia Británica, 1948. En posteriores ediciones se suprimió algunas cifras y detalles.

3.      La medida Gran U equivale al arco de un lado de un pentágono regular con radio F -Pentágono Áureo-.

4.      Interpretación que responde a p = YF².

5.     Equivalencia de las medidas en el Sistema Inglés en el Sistema Métrico Decimal.

6.      Cantidad por la que se multiplica el valor de la medida para encontrar la inmediata superior.

7.      Valor proporcional matemático. Nótese la claridad con que se manifiesta, en las dos interpretaciones, la base sexagesimal correspondiente al sistema empleado en esa civilización.

8.      Valor proporcional en el Sistema Métrico Decimal.

9.    Expresión del llamado codo de Gudea, medida considerada como el probable origen del codo conocido en la antigüedad del Medio Oriente y el Occidente Clásico, como real o sagrado.

10.  Medida cuyo nombre por su antigüedad y la importancia semántica que tiene por su semejanza fonética con la palabra canon, sería el remoto origen ésta, como regla, proporción, medida o modelo, con uso actual en muchas lenguas a través de las clásicas occidentales, y que fue utilizada para la referencia a las proporciones humanas en las culturas clásicas de occidente.

1.      Series from the ancient Middle East, with conventional denomination in this study. Known in Sumer, could constitute a one of the oldest series of this region. Interpretation in the context of the Metric Decimal System shows that in the design (in the sexagesimal system) there would have been applied criteria to the anthropometric proportions

2.      In the Ancient Weights and Measures section of the Encyclopedia Britannica, 1948. In later editions some figures and details were superseded

3.      The measure Great U is equal to the arc of one side of a regular pentagon with radius F –Golden Pentagon-.

4.      Interpretation which corresponds to p = YF².

5.     Equivalence of measures in the English System in the Metric Decimal System.

6.      Quantity by which value of the measure is multiplied in order to find upper immediate.

7.      Proportional mathematical value. Note in the two interpretations the clarity with which the sexagesimal base corresponding to the system used by this civilization is shown.

8.      Proportional value in the Metric Decimal System.

9.      Expression of the so-called cubit of Gudea, a measure considered the probable origin of the code known as royal or sacred in the ancient Middle East and Classic Western.

10.  Measurement whose name, according to its age and semantic importance -due to its phonetic similarity with the word canon would be the distant origin of this, meaning rule, proportion, measure or model, with present use in many languages through the western classics. Used for references to human proportions in the western classic cultures.

INTERPRETACIÓN ANTROPOMÉTRICA

CORRESPONDENCIA GENERAL

Aparte de que las dos series tuvieron una base antropométrica, el análisis comparativo de ellas permite asumir la relación que guardan entre sí, que se habría establecido en un proceso de ajuste mutuo llevado a cabo durante muchísimo tiempo. Con ese análisis queda demostrada la correspondencia entre la Serie pF y la Serie F, con la incorporación del valor de la medida Gran U propia de la primera de ellas en la interpretación de la segunda.

Por otra parte, es necesario remarcar que la sucesión de los valores proporcionales matemáticos en las dos series, conservan el patrón sexagesimal, se trate de la interpretación con p o con F, con mayor imagen que la que se expresa en las correspondientes sucesiones de los factores escalares en cada serie.

LA MEDIDA LLAMADA CODO

Como medida, codo generalmente se entiende como la distancia del punto anatómico localizado entre el brazo y el antebrazo, a la extremidad de la mano. Pero, al encontrarse tres grupos de magnitudes diferentes a las que se asignó esa denominación en la antigüedad, se puede plantear la hipótesis de que cada uno de esos grupos corresponde a diferentes medidas de la anatomía del brazo humano, con los nombres convencionales que aquí se propone:

Codo Menor.- Sería la medida entre el codo anatómico y el extremo del puño cerrado, que equivale para fines prácticos a 0,20 de la estatura humana; por lo tanto, el promedio con 0,355 m de longitud (codo babilónico común 0,347 m, codo pítico griego o de Apolo, 0,371 y codo común de la Grecia Asiática 0,347), correspondería a una persona de 1,775 m.

Codo Medio.- Sería la medida entre el codo anatómico y la punta de los dedos, que equivale para fines prácticos a 0,25 de la estatura humana; por lo tanto, el promedio con 0,441 m de longitud (codo lítico babilónico de 0, 417 m, codo olímpico griego de 0,463 m y codo romano de 0,444 m), correspondería a una persona con una estatura de 1,764 m. Pero, si se considera la medida del codo lítico babilónico, se obtiene una estatura de 1,668 m muy cercana a la medida Qanu de la Serie pF (1,6449 m).

Codo Mayor.- Sería la medida entre el hombro y el extremo del puño cerrado, que equivale para fines prácticos a 0,33 de la estatura humana; por lo tanto, el promedio con 0,529 m de longitud (codo de Gudea con 0,529 m, codo sagrado babilónico con 0,556 m, codo real en la pirámide de Snefru de la tercera dinastía de Egipto con 0,524 m, codo real en la pirámide de Keops con 0,523 m, codo de Asia Menor que variaba entre 0,521 m y 0,531 m y codo en las tumbas de Jerusalén con 0,522 m), correspondería a una persona con una estatura de 1,761 m.

Por la aplicación de la hipótesis enunciada, se encuentran estaturas humanas razonables en cada uno de los grupos. Para la confirmación de esa hipótesis mediante la comparación entre ellos, se calculó las estaturas según las tres modalidades planteadas:

ANTHROPOMETRIC INTERPRETATION

GENERAL CORRESPONDENCE

Apart from the fact that the two series had an anthropometric base, comparative analysis of them permits the assumption of their mutual relationship, which would have been established in a process of mutual adjustment carried out during a great deal of time. With this analysis, correspondence is demonstrated between the Series pF and Series F, with the incorporation of the value of the measurement Great U belonging to the first in the interpretation of the second.

For another part, it is necessary to note that the succession of proportional mathematical values in the two series conserve the sexagesimal pattern, concerning the interpretation of p with F, with greater image than that expressed in the corresponding successions of the scale factors in each series.

THE MEASUREMENT CALLED THE CUBIT

As a measure, the cubit generally is understood as the distance between the anatomic points located between the forearm and arm and the end of the hand. However, as three groups of size different to those assigned in antiquity can be found, the hypothesis that each of these corresponds to different measurements of the anatomy of the human hand can be proposed, with the following conventional names proposed:

Lesser Cubit. – This would be the measurement between the anatomic elbow and the end of the closed fist, which for practical purposes corresponds to 0.20 of the human stature. As such, the average is of 0.355 m of length (Babylonic Common Cubit 0.347, Pythic Greek or of Apollo and 0.371, Common Cubit of Asiatic Greece 0.347), which corresponds to a person of 1.775 m.

Middle Cubit. - This would be the measurement between the anatomic elbow and finger tips, which for practical purposes corresponds to 0.25 of the human stature. As such, the average is of 0.441m of length (Babylonic Lythic Cubit 0.417m, Olympic Greek 0.463 m and Roman Cubit 0.444 m), which corresponds to a person of 1.764 m. However, if the measurement of the Babylonic Lythic Cubit is considered, a stature of 1.668 m is obtained, close to the measure Qanu in the Series pF (1.6449 m).

Greater Cubit. - This would be the measurement between the shoulder and the ends of the closed fist, which for practical purposes corresponds to 0.33 of the human stature. As such, the average is of 0.529 m of length (Gudea Cubit 0.529 m, Sacred Babylonic Cubit 0.566 m, Royal Cubit in the Snefru pyramid of the third dynasty of Egypt 0.524 m, Royal Cubit in the Keops pyramid 0.523 m, cubit of Asia Minor with variance between 0.521 and 0.531 m and cubit in the tombs of Jerusalem 0.522 m) which corresponds to a person of 1.761 m.

With the application of the hypothesis expressed, reasonable human stature is found in each of the groups. For confirmation of this hypothesis through comparison between them, the heights were calculated following three modalities proposed:

REGLAS GRADUADAS PARA MEDICIÓN

CAMPO DE ESTUDIO

En cada tablero de las dos esculturas de Gudea estudiadas hay una regla con dos bordes; uno interior, hacia el respectivo tablero, y otro exterior. Los bordes interiores representan la graduación de un mismo sistema de medida y los exteriores tienen marcas con diferentes propósitos.

La forma de esos instrumentos es semejante a la que tienen los de sección triangular equilátera, empleados actualmente para el dibujo técnico, denominados escalímetros. Para mayor semejanza, el contenido del borde interior de la regla que se encuentra en El Arquitecto del Plano y los dos bordes de la otra en El Arquitecto de la Regla tienen medidas a escala.

REGLA EN LA ESCULTURA DEL ARQUITECTO DEL PLANO

Se denominará al borde interior A y al exterior B. Aunque se rompió un extremo de la regla sólo se ha perdido información del borde A. Sin embargo, por la progresión de su graduación visible es posible asumir lo que existía en el resto. Las 10 subdivisiones visibles de 1,6458 cm cada una y con criterio sexagesimal en el diseño de su progresión, muestran una serie de expresiones de la división de la medida Qanu del sistema de medidas de longitud de esa época denominado pF.

La reconstrucción considera que, en forma intercalada, la mitad de las subdivisiones interiores tiene fracciones interiores, cada vez con una unidad menos a partir de 6; en cambio, la otra mitad de subdivisiones tiene espacios interiores vacíos. Como resultado, por el patrón del diseño de la regla, se puede suponer la existencia de dos subdivisiones adicionales, para completar 12 iguales, con una extensión total de 19,75 cm.

Es decir, a partir del extremo señalado por la punta del instrumento de dibujo, cada una de las subdivisiones con fracciones cada vez menores tiene a continuación un espacio vacío. De acuerdo con ese patrón, a continuación de la subdivisión destinada a 2 se encontraría: un espacio vacío, la subdivisión correspondiente a 1 y otro espacio vacío, para completar la serie de representaciones de la medida Qanu de la Serie pF, en escala 1:100

En el borde B, existen marcas que señalan magnitudes proporcionales a 1, 5 y 12, con un total de 18 entre las marcas de los extremos. Esas dimensiones, relacionadas con las de un triángulo rectángulo con lados 5, 12 y 13, fueron definidas con el propósito de demostrar la solución de ese tipo de triángulos (sin el empleo de raíces cuadradas, como se hace en la actualidad) y que se debe conocer como el Teorema de Gudea. a

REGLA EN LA ESCULTURA DEL ARQUITECTO CON REGLA

Se denominará al borde interior C y al exterior D, con una longitud total de 26, 4 cm. El borde C tiene 16 divisiones iguales, que representan un igual número de veces también a la medida Qanu de la Serie pF, en escala 1:100. Una de las divisiones está dividida en 6 partes iguales y, una de éstas en 2 y otra en 4.

CONJETURAS. En el borde D, existen marcas que señalan magnitudes proporcionales de 11,5 y 4,5. Si la primera de esas magnitudes se iguala a F, la segunda seria el inverso de la mitad de un p de 3,15. Otra interpretación, que no perjudica a la primera, es que la longitud 4,5 representa a la medida Qanu de la Serie pF, en escala 1:36

COMPARACIÓN DE LAS REGLAS

En primer lugar, el tamaño total de la regla de El Arquitecto del Plano no puede ser igual a la que se encuentra en la escultura llamada El Arquitecto con Regla, pues ésta tiene 26,4 cm y 16 fracciones principales; y, en ambos casos la dimensión que se lograría, en términos absolutos o relativos según el número de fracciones visibles, sobrepasaría la extensión disponible en el tablero de El Arquitecto del Plano, en el lado correspondiente a la porción faltante.

GRADUATED RULERS FOR MEASUREMENT

FIELD OF STUDY

On each plaque of the two Gudea sculptures there is a ruler with two borders; one interior, towards the plaque itself, and one exterior. The two borders represent the graduation of a single system of measurement and the exteriors have marks with different purposes .

The form of these instruments is similar to that of the equilateral triangle section, now used for technical drawings, called scalimetres. In addition to this similarity, the content of the interior border of the ruler found in The Architect of the Plan and the two borders of the other in The Architect of the Ruler has measurements to scale.

RULER IN THE SCULPTURE THE ARCHITECT OF THE PLAN

The interior border is named A and the exterior B. Although the end of the ruler is broken only information regarding A has been lost. However, due to the visible progression of graduation it is possible to assume that which existed in the remaining. The 10 subdivisions of 1.6458 cm each and the sexagesimal criteria of design in the progression show a series of expressions of the division of the measure Qanu of the system of measurements of longitude of this period denominated pF.

The reconstruction considers the fact that, in an interspersed form, half of the interior subdivisions have interior fractions, each time a unit less starting with 6. However, the other half has empty interior spaces. As a result, following the design pattern of the ruler, it can be supposed that there exist two additional subdivisions, in order to complete 12 equal, with a total extension of 19.75 cm.

This is to say that, starting with the end indicated by the point of the drawing instrument, each one of the subdivisions with fractions each time smaller has then an empty space. According to this pattern, after the subdivision destined to be 2 would be found an empty space, the subdivision corresponding to 1 and then another empty space, so completing the series of representations of the measure Qanu of the Series pF, on a scale 1:100

On the border B there are marks which indicate magnitudes proportional to 1, 5 and 12, with a total of 18 between the marks at the two ends. These dimensions, related to those of a rectangular triangle with sides 5, 12 and 13, were defined with the aim of showing the solution of this type of triangles (without the use of square roots, as is done at present) and must be known as the Theorem of Gudea. a

RULER IN THE SCULPTURE THE ARCHITECT WITH THE RULER

The interior border is named C and the exterior D, with a total length of 26.4 cm. Border C has 16 equal divisions, which represent an equal number of times the measure Qanu of the Series pF, on a scale 1:100. One of the divisions is divided into 6 equal parts, one into 2 and the other into 4.

CONJECTURES On the border D are marks which indicate magnitudes proportional to 11.5 and 4.5. If the first of these is equal to F, the second will be the inverse of the half of a p of 3.15. Another interpretation, which does not prejudice the first, is that the longitude 4.5 represents the measure Qanu of the Series pF, on a scale 1:36.

COMPARISON OF RULERS

In first place, the total size of the ruler in The Architect of the Plan cannot be equal to that found in The Architect of the Ruler, given that this is of 26.4 cm and 16 principal fractions. In both cases the dimension that would be obtained, in absolute terms or according to the number of fractions visible, would surpass the extension available on the plaque of The Architect of the Plan, on the side corresponding to the missing portion.