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La armonía oculta es superior a la manifiesta.
(Heráclito de Efeso, siglo V a.C.)
Dios usó en la creación del mundo de la aritmética, de la geometría y de la música,.....
(Nicolás de Cusa, La docta ignorancia, 1440)
.....no hay nada de inculto, de estéril o de muerto en el universo, nada de caos, nada de confusiones, sino sólo apariencia de ellos;.....
(Godofredo G. Leibniz, Monadología, 1714)
.....toda creación artística o científica implica una transición del desorden al orden.
(Ilya Prigogine, Premio Nóbel de Química 1977)
En lo más esclarecido del pensamiento humano de diferentes épocas se relaciona la armonía con el orden. En esa relación existe en la Naturaleza un maravilloso número del que no se sabe lo suficiente, excepto por su extraordinaria importancia en la estética o por su interés matemático. Se trata de F, conocido desde una muy lejana antigüedad en culturas (por ejemplo las de Sumer, Egipto y Tiwanaku) de diferentes partes del mundo y, desde la Grecia clásica, con el nombre de Número de Oro. Es la medida de la perfecta proporción entre dos partes desiguales [I].
Sobre esa proporción, en el caso de la geometría plana un arquitecto propuso que "para que un espacio dividido en partes desiguales resulte agradable y estético, deberá haber entre la parte más pequeña y la mayor la misma relación que entre la mayor y el todo" (Vitruvio, 1). Tratándose de segmentos lineales, un matemático definió que dicha proporción es la "división de una longitud en media y extrema razón” [II] (Euclides, 2) o Sección Áurea.
Dicha correspondencia, en cualquiera de las situaciones señaladas, manifiesta la presencia de una medida de proporción común que es F, el módulo de la perfecta armonía. Por eso, armonizar es emplear el módulo de la proporción, porque "no es posible que dos términos formen por sí solos una hermosa composición sin un tercero” pues es necesario que entre ellos haya un vínculo que los relacione creando entre ellos una relación de consonancia.
Ahora bien, de todas las relaciones la más bella es la que se da en las partes de una misma cosa en la unidad más completa; “es naturalmente la analogia (analogía o proporción) la que realiza esto del modo más bello" (Platón, 3) o dicho de otra forma: "la proporción que los griegos llaman analogia, es la consonancia entre las partes y el todo” (Vitruvio, 1).
En cuanto a su valor numérico, para fines prácticos en general no interesa conocer la expresión de F con un mayor número de dígitos que la que habitualmente se maneja: 1,618 como cifra significativa. Matemáticamente es más fácil lograrla que en el caso de p, pues sólo se trata de tener como base la raíz cuadrada de cinco, o de emplear la serie de Fibonacci [III]; sin embargo, con interés por la posibilidad de encontrarle propiedades aún desconocidas, en 1998 se logró conocer sus primeros 10 millones de dígitos. Las manifestaciones de F en muy diversas áreas llama la atención tanto por él mismo como por los casos en los que se descubre su relación con otros números.
Es probable que en el pasado se haya conocido la razón entre los valores numéricos de p y del cuadrado de F, que para fines prácticos se utiliza como 1,2=6/5. El conjunto que asocia un cuadrado de lado igual a F2 con un círculo con diámetro igual a p, para mostrar las proporciones armónicas y antropométricas en la Puerta del Sol de Tiwanaku y en el dibujo de Leonardo da Vinci, constituye la demostración geométrica de esa razón [IV], que se ha denominado Y.
Las relaciones en la composición de dicho conjunto geométrico inducen a pensar que p aparece como consecuencia del patrón circular de los movimientos de lo existente en la Naturaleza donde se manifieste F. Se trataría de la armonía dinámica, con el caso paradigmático del cuerpo humano con el movimiento de sus miembros [V].
En sus diversas manifestaciones numéricas o geométricas [VI] fue designado a lo largo de la historia, aparte de Número de Oro, con los dignos nombres de la Regla de Oro, la Sección Áurea y la Proporción de Fidias entre otros; y, en el Renacimiento, como la Divina Proporción (L. de Paccioli, 4). Sus prodigiosas propiedades [VII] le han valido la alabanza de ser “joya de la geometría” (J. Kepler, 5). El símbolo con el que se lo conoce recién se le asignó en el siglo XX.
Es frecuente que se encuentre la presencia de F en la multiplicación, forma de crecimiento y disposición de las partes de animales y plantas (desde las diminutas formas de vida que estudió Haeckel, 6), porque la Naturaleza exhibe en su diversidad una unidad esencial, una regla geométrica, donde por una parte la espiral, como una de las formas en las que se manifiesta F es "ciertamente un factor común en una multitud de fenómenos de una aparente amplia diversidad” (T. A. Cook, 7) y donde, por otra, se muestra de manera constante la sucesión matemática que genera F (Fibonacci, 8).
Su presencia universal se encuentra en lo que tiene vida y en lo inorgánico en movimiento, desde la filotaxia hasta la física molecular, y desde la química biológica hasta la astrofísica. En lo minúsculo (la periodicidad de los elementos atómicos y la doble hélice del ADN) y en lo inmenso (la forma de las órbitas planetarias y la configuración de las galaxias).
Se ha comprobado que con F se puede calcular la constante de Feigenbaum [VIII]. Particularmente en este caso la asociación entre ambos valores es de interés científico porque demuestra la presencia de F en el campo de los procesos dinámicos. Por otra parte, se logró definir según F la geometría de la parábola (con la base de la geometría del huevo de gallina) y del icosaedro truncado (con todos los exapentas derivados de ese poliedro) [IX].
Ese código de la Naturaleza, comprendido pero lejos de estar plenamente descifrado, se exhibe en la simetría [X] inestable de los seres vivos y en la materia con alguna forma de estructuras dinámicas, con la expresión de su patrón numérico resumido que es F, sobre la base del número cinco. En cambio, en las formas que corresponden a la materia no organizada para la vida, en los exponentes de simetrías estables y en las estructuras de equilibrio cristalino, su esquema numérico recurre en general al número seis (M. C. Ghyka, 9).
Hasta hace poco se consideraba que lo inerte en la Naturaleza tiene estructuras estáticas; sin embargo, el nuevo concepto de las "estructuras disipativas", en el "orden a partir del caos" (I. Prigogine, 9), que precisan de permanentes entradas y salidas de energía, explica que fuera del equilibrio inerte se encuentra la variedad de lo que tiene vida, en forma cada vez más específica, por su complejidad, en la medida de su lejanía de ese equilibrio.
Las "estructuras disipativas" en las que se exhibiría F, se mantienen por el flujo continuo de la energía que las impregna que, cuando se hace irrefrenable, obliga a la reorganización estructural, iniciándose un acelerado proceso irreversible, de generación de nuevas estructuras, en una constante pulsación.
Así se llegó a la revisión de lo que se pensaba en torno a la segunda ley de la termodinámica, con el resultado de que el Universo se halla, de manera inevitable, yendo hacia el caos y la decadencia, cuando más bien se puede afirmar que el desorden, el desequilibrio, no es permanente y, más bien, conduce hacia nuevas formas de orden y organización.
De ahí que el reconocimiento de que la entropía no determina situaciones destructivas sino de transición, obliga al olvido del pensamiento del incremento permanente del desorden y, aunque los procesos de mutación sean irreversibles, las estructuras disipativas muestran las situaciones previas a otro orden.
Es precisamente ahí donde se debe buscar ahora con especial cuidado a F, paradigma de la renovada reorganización, que se manifiesta como rector en la transición del caos al orden, en el génesis de una nueva armonía, en el esencial desequilibrio del Universo. La renovada organización de las estructuras es, por otra parte, la unión crítica, la pieza que articula la materia animada con la inerte, "el abismo entre la vida y la no-vida es mucho más pequeño de lo que pensábamos" (I Prigogine, 10) (ver nota VIII, sobre la constante de Feigenbaum); por lo tanto, no existe una gran distancia entre ellas, se trata más bien de un cambio de dirección entre las formas de equilibrio estático y dinámico.
Por todo eso no sorprende el reciente hallazgo de los cuasicritales, materiales con simetrías [X] que se ha dado en llamar "increíbles" o "prohibidas", dado el desconocimiento de las maravillosas propiedades de F, ya que esos materiales al exhibir esa proporción demuestran que la misma también se encuentra en la materia inerte con estructuras inestables.
Al elaborarse la teoría sobre la Naturaleza de esos materiales, con el convencimiento de que sus "irregularidades" pueden tener grandes aplicaciones tecnológicas, admiró al mundo científico encontrar en ellos una simetría igual a la del diseño que hizo posible cubrir un plano que, sin dejar espacios vacíos, empleó figuras geométricas en función de F (R. Penrose, 11), en el campo que se ha llamado de la "geometría imposible".
Además, sabiéndose que el sistema cuántico es matemáticamente idéntico al sistema acústico, se logró construir un "instrumento musical" con el objeto de estudiar las propiedades matemáticas de las ondas electrónicas, en un modelo teórico de un cuasicristal, habiéndose comprobado que F, como tema constante, se exhibe en toda la escala lograda.
Por lo demás, es ineludible referirse al descubrimiento de una gigantesca molécula de carbono, el C60 que aparte de la trivial denominación de futboleno, recordando la cúpula geodésica de Buckminster Fuller es conocida como buckminsterfullereno, o buckyball, centro de intensas investigaciones en todo el mundo en los últimos años.
Ahora bien, la molécula del C60, perfectamente esférica, que sería mejor denominarla leonardano, por haber sido Leonardo da Vinci el que primero dibujó esa exacta estructura en su totalidad [XI] (A. Calvimontes C., 12), al ilustrar el libro de Luca de Paccioli, es un poliedro compuesto por 20 exágonos y por 12 pentágonos que tiene una tensión ideal, en la que es indudable la presencia de F.
La observación de esa hasta hace poco desconocida estructura en la Naturaleza, y sin embargo al parecer de las más abundantes y antiguas en el cosmos, que revela la inquietante presencia de temas dinámicos peculiares de lo que tiene vida (los pentágonos) y estables relativos a lo cristalino (los exágonos), permitió el accidental y más reciente descubrimiento de un nuevo cristal de carbono, denominado nanotubo de carbono que, al igual que el leonardano, ofrece amplias promesas científicas y económicas.
En todo ese panorama, que no se acaba de descubrir, todo lo que ofrece la geometría de las proporciones, de la cual F es su paradigma, y el amplio campo que deberá abarcarse para su correcto conocimiento y su aplicación generalizada, que se vislumbra muy promisoria (p.e. desde el ámbito de la ortopedia hasta el de la biónica, pasando por el del diseño ergonómico), involucrará a la denominada geometría fractal.
La geometría fractal estudia los objetos que tienen simetría escalar y cuya propiedad es la de hacerlos invariantes a diferentes escalas homogéneas y que demuestra, después de veinticinco siglos de haberse planteado el concepto (microcosmo y macrocosmo), que el comportamiento en las escalas microscópicas de la Naturaleza se puede repetir en las macroscópicas, impregnadas de aquellas.
La demostrada exhibición de F en la filotaxia no es otra cosa que una muestra de la sorprendente geometría de los objetos fractales que está presente en las estructuras biológicas con ramificaciones arborescentes, como en el caso de los sistemas sanguíneos, respiratorios y nerviosos de los animales superiores, y en el reino vegetal en general. Es decir, el crecimiento vivo tiende a producir estructuras homotéticas.
A pesar de ese panorama, muy someramente descrito, en general F no ha conseguido entusiasmar lo suficiente al mundo científico. Aunque falta conocer más amplia y profundamente la inmensa riqueza de su Naturaleza, es necesario destacar que para el progreso de la humanidad se debería aprovechar la importancia de F en diferentes campos y en la relación entre ellos, como canon de la armonía universal.
Particularmente, el proporcionamiento antropométrico ha sido un campo de estudio desde un remoto pasado hasta el presente, por el interés de hombres de ciencia, artistas y arquitectos. Se conoce el canon (modelo) de las culturas de Sumer, Tiwanaku y Egipto, de los griegos y romanos, y de Policleto, Vitruvio, Alberti, Leonardo da Vinci [V], Durero, Miguel Angel, Zeising y Le Corbusier, entre otros; siempre, de una y otra forma, con la intervención de F.
Del estudio del proporcionamiento antropométrico comúnmente se ignora que, aparte de su interés estético (L. da Vinci, 13), su aplicación puede estar presente en el diseño de obras arquitectónicas, mobiliario, vestuario, utensilios, instrumentos y materiales de uso doméstico o de trabajo, como consecuencia de que la mejor normalización arquitectónica e industrial, al entenderse que existe un canon que valoriza ese proporc¡onamiento, ha determinado criterios para la creación del medio artificial acorde con las proporciones humanas y, además, de formas armónicas.
Por su exhibición en la belleza de la Naturaleza y en la que crea el hombre, como arquetipo de la armonía, el mayor interés que se le ha dado a F está en el campo de la estética. Por ejemplo, la obra del famoso arquitecto Antoni Gaudí se inspiró en el "gran libro de la Naturaleza" ya que "la calidad esencial de la obra de arte es la armonía" debido a que "la arquitectura crea el organismo y por eso éste debe tener una ley en consonancia con las de la Naturaleza".
La presencia de F en la composición de célebres obras de las artes plásticas, sobre todo cuando recrean la Naturaleza, y por eso mismo en la mayoría de los casos, responde a la intuición genial de sus autores en el dominio de la armonía, en forma distinta a los casos de meritorias obras arquitectónicas donde generalmente su empleo responde a una intención calculada o corregida, debida a la forma de concepción y creación material propia de la arquitectura, como nueva Naturaleza. Si F es connatural al hombre se comprende que éste lo utilice en forma espontánea o voluntaria en lo mejor de su creación.
En la primera forma, el autor valora intuitivamente el concepto de diseño deseado y "hace automáticamente las correcciones ópticas necesarias", como resultado de la adecuación de la armonía preexistente debido a que "poseemos muchos conocimientos de que no tenemos conciencia clara, aun cuando los aplicamos" (Le Corbusier, 14), asumiendo que "toda la aritmética y toda la geometría existen de una manera innata y virtual en nuestra alma", aunque "los principios innatos sólo aparecen cuando la atención se fija en ellos" (G. W. Leibniz, 15).
Sin embargo la utilización voluntaria de F en forma aislada y simple en una obra de arte de cualquier especie, no es suficiente para la obtención de una composición armónica, debido a que en ésta es indispensable la solución de la complejidad de la múltiple relación entre sus partes, aparte de la consideración de la intervención de la magnitud, la materia y la localización entre los otros muchos factores y condicionantes internos y externos de cada obra.
Por otra parte, no solamente se ha valorado la expresión de F en las más bellas obras del arte mayor de la arquitectura y de las artes plásticas de todos los tiempos y lugares. La teoría de las proporciones, en la que se apoya la de la armonía musical se aplicó, cinco siglos antes de nuestra era, a la longitud de segmentos de cuerdas sonoras, lográndose vibraciones inversamente proporcionales a la misma, con sus consecuencias en el ritmo como la periodicidad percibida en el tiempo, semejante a la simetría [X] en el espacio.
Debido a que F, con cualquier otra designación, fue considerado hasta mágico en el pasado (e inclusive ahora sus impresionantes manifestaciones generan la resistencia de algunos a aceptarlo al no poder comprenderlo), su conocimiento ha tenido una existencia oculta en la mayor parte de la historia del saber humano. Sus propiedades han sido, en general, transmitidas veladas por un cierto misterio.
El despertar de la ciencia de los números, como en general el de otras, se verificó muy ligado a las prácticas religiosas, al amparo del templo, retribuyendo a los sacerdotes con conocimientos que mejoraban su posición frente al poder y al pueblo. Algunos de esos conocimientos, en la medida en que se transformaban en algo práctico, se fueron transmitiendo al resto de la comunidad que rodeaba a los recintos sagrados. Los otros se conservaban ahí, y se hacían tanto más secretos cuanto mayor era la dificultad de explicarlos o su utilidad práctica era más remota.
Por esa causa el secreto sobre F no se determinaba necesariamente por el valor intrínseco del conocimiento que se ocultaba y es probable que el mismo secreto lo sobre valorara, tanto más si sus propiedades lo hacían parecer mágico. En muchos casos, si se encontraba alguna aplicación de importancia, también se podía hacer conocer sólo ella, ocultando la base del conocimiento que la había generado, sin mayores explicaciones, tanto si se trataba de resultados de alguna forma conceptuales como, y mejor, si ellos eran instrumentos o conocimientos derivados, por ejemplo en los sistemas de medidas.
Lo más probable es que ese haya sido el ambiente en el que nació y se desarrolló el conocimiento de F, en una muy remota antigüedad, y posiblemente en distintos lugares dada la universalidad de su presencia, ignorándose los nombres con los que se lo denominó y, lo que es deplorable, la forma cómo se lo conoció y el concepto que de él se tenía, aunque se puede imaginar que éste debió estar en un altísimo nivel.
Con ese pasado no resulta extraño que en la Grecia clásica y luego en Roma, cuando se lo volvió a enaltecer, no solamente se lo haya seguido ocultando, aunque fuese bajo espléndidos atavíos filosófico-literarios, sino que no se haya revelado el verdadero origen de su descubrimiento, por lo menos en esa parte del mundo, en Egipto y en la Mesopotamia. Sin embargo, el ámbito de los que sabían de F se fue ampliando, aún con infidelidades a graves juramentos en torno al conocimiento de sus propiedades.
Luego, la humanidad aparentemente se olvidó de él durante el primer milenio de nuestra era; su tradición permaneció oculta en el seno de las hermandades de los constructores. Sin embargo, un importante aporte al acervo del conocimiento de sus propiedades ocurrió al final de la Edad Media con la llamada serie de Fibonacci y fue con el Renacimiento que F volvió a ser valorado, aunque por relativo poco tiempo; las consecuencias culturales de los siguientes períodos históricos de Occidente lo volvieron a dejar de lado.
Finalmente, en el siglo XX nuevamente F despertó algún interés: se empezó a esclarecer su pasado y se incrementó el conocimiento de su Naturaleza, a pesar de que este se encuentra aún disperso. Paralelamente aumentó el hallazgo de manifestaciones de F en diferentes campos científicos. De todas formas, queda por romperse definitivamente el inconfesado deseo de secreto y los conceptos prejuiciosos existentes alrededor de F, aún pensando que "el secreto seduce y anima" (P Valery, 16).
Se ha mostrado interés en F o en la manifestación de sus diferentes propiedades, incluidas las numerosas de la serie de Fibonacci, en áreas tan diversas como la estética, la filosofía y la semiología por una parte, y como la matemática, la física, la química y la biología por otra.
Sin embargo, aparte de su consideración en la filosofía y en la estética, y en forma aún limitada en la matemática, los estudios sobre F se restringen a la casuística en otras áreas, sobre todo cuando se trata de su hallazgo en diversas formas de vida o en la Naturaleza en general. El conocimiento de F es muy fragmentado (incluso se disocia la consideración de la Sección Áurea de la que corresponde a la Serie de Fibonacci), se lo toma en muchos casos como una aislada curiosidad matemática o de la Naturaleza, y está limitado a los campos de pocas profesiones y actividades. Se ignora que su conocimiento tiene un remoto pasado y la necesidad de ese conocimiento no se toma en cuenta en la formación general.
La ignorancia que se tiene sobre sus propiedades llega al extremo de que, en muchos casos, se toma como insólito que ese "curioso" número se exhiba en la medición de algo en el mundo que nos rodea. En esas circunstancias a lo más que se llega, al comentar su presencia, es a señalar que ese número fue de interés en alguna época -griega clásica o renacentista-, o simplemente que se trata de una medida de valoración estética. Esa situación se debe en gran medida a la especialización mal entendida en diversos campos del conocimiento humano, que desconoce los valores trascendentes a ellos.
Así, la apreciación de las manifestaciones de F se puede distribuir en tres grupos: el matemático-geométrico (p. e. H. E. Huntley, 17), el que engloba diversos aspectos de la teoría del arte (p. e. A. Lurçat, 18) y el relativo a su presencia en la Naturaleza (p. e. D'A. W. Thompson, 19).
Sin embargo, es frecuente que lo que se sabe de F en uno de esos grupos no se lo asocie con el conocimiento que se tiene en los otros dos, porque no se ha reunido lo que se conoce de él y no se lo analiza en forma integrada, en su verdadera y ubicua importancia para la humanidad, para la comprensión de ella misma, de la obra de su creación y de su entorno físico espacial.
Definitivamente, en algún momento F contribuirá al logro de la síntesis que responda a la necesidad de romper los encerramientos de las especialidades que se valen de medidas y proporciones, para avanzar en la armonización general, hacia el conocimiento de la unidad perfecta, la clave de la arquitectura universal, su eterna esencia.
La comprensión de lo que significa F debe estar ligada, en lo más elevado del pensamiento humano, al ideal de conciliar los diversos campos del conocimiento y de las técnicas donde intervienen esas medidas y proporciones, mediante el canon que constituye el común denominador para alcanzar la armonía y el equilibrio.
Mientras tanto, resulta paradójico que dado el nivel de la ciencia actual y la importancia de F, no se haya aún estructurado un cuerpo de conocimientos sobre este número, aunque debe reconocerse que, al margen del temor "racionalista" a lo que no tiene una explicación completamente “satisfactoria", contribuyen a esta situación por una parte la aparente escasa utilidad "práctica" de F y, por otra, su misma Naturaleza y tradición.
Ahora está claro que F no es una extravagancia matemática y tampoco una creación del hombre; está en la Naturaleza y por lo tanto en él mismo que, en las esferas de su más depurada creación intelectual, lo repite y utiliza en forma conciente o espontánea, al intuir el código de la perfecta armonía.
En el marco de lo manifestado hasta ahora se justifica la revaloración de lo hace tanto tiempo dicho: "todo está dispuesto conforme al Número" (atribuido a Pitágoras, 20); "cuando Dios se propuso poner orden en el universo..... empezó por distinguir las cosas por medio de formas y números” (Platón, 3); "el caos primitivo, falto de orden y de forma, y de lodo lo que diferencia según las categorías de la cualidad, de la cantidad, etc., fue organizado según el número" (N. de Gerasa, 21); y "la proporción, como indica conveniencia con algo único, y a la vez alteridad, no puede entenderse sin el número" y "el número incluye, por tanto, todas las cosas proporcionales" (N. de Cusa, 22).
En esa antigua sabiduría se distinguía dos clases de números: el Número-Idea o Número Puro, y el número científico, siendo el primero el paradigma del segundo, que habitualmente se considera como numero y que sólo es una representación, una cifra que hace olvidar los Números verdaderos.
Debe tenerse presente que en general la matemática utiliza modelos que simplifican lo real, mediante convenciones regulares y conservadoras (M. C. Ghyka, 21) Se trata entonces de pensar en los auténticos Números, en las proporciones que muestra la Naturaleza, en las simetrías de lo estable y la de lo que se encuentra en proceso de cambio, en la armonía del Universo.
Esa indispensable comprensión, de enorme trascendencia, será también la que se tenga de la armonía en la Creación, que el hombre en la eterna búsqueda de la belleza la imita en lo más sublime de su propia creación para, en forma semejante, imponer orden en el caos con el marco, sin conocerlo con precisión, de un mega contexto supremo.
I. Siendo a el segmento más largo, se define el valor numérico de F a partir de la proporción a/b = (a+b)/a, hasta llegar a que F =( V5+1)/2 = 1,618O33989.........
II. División de una cosa en dos partes, de manera que el cuadrado de la mayor sea igual al producto de la menor por el todo. De tal manera que si F es la mayor y 1 la menor: F2 = 1 x (1+F), es decir F2 = 1 + F
III. Serie aditiva de dos tiempos: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144......, donde cada término es la suma de los dos anteriores y, cuando se divide uno de ellos por el anterior, con cada vez mejores resultados en función del progreso de la serie, se obtiene el valor de F. Con 89/55 ya se obtiene 1, 618.
IV. Razón geométrica Y= p/F2 = 1,199981615....
V. Ver de C. Calvimontes R.: La Cuadratura del Círculo con F y p según Leonardo da Vinci.
VI. Un rectángulo tiene una proporción perfecta si la relación entre sus lados es F o su Inverso F/1 = 0,618...; es decir que si al lado mayor de un rectángulo se le asigna el valor de F, o de su inverso, el otro lado tendrá el valor de la unidad. Por otra parte, se exhibe en tripletes de triángulos rectángulos, p. e., estando primero los catetos: 1, VF y F; 1/F, F y V3; V1/F, 1/F y 1; y, V1/F, 1 y VF
VI. Entre ellas que es el único numero cuyo inverso es él mismo menos 1 (0,618....) y su cuadrado él mismo más 1 (2,618....). Además, F es Igual a 1+(1/(1+1/(1+1/(1+1/(1....)))).
VIII. La constante de Feigenbaum (4,669201609.......) es la razón del escalamiento parabólico en los procesos de la turbulencia de fluidos. F= 7.500F/2.599 + 99/4x109 (según C. Calvimontes R.).
IX. Ver de C. Calvimontes R.: Geometría de la Parábola según el Número de Oro y Geometría de los Exapenta según el Número de Oro.
X. Simetría en el sentido que se dejó de utilizar hace tres siglos pero que ahora se vuelve a aceptar: concurso general de todas las partes, proporción conmensurable y correspondencia entre las partes y el todo, reglamentados por un módulo; definición mucho mejor que la que se entiende corrientemente en la actualidad, de igualdad inversa respecto a un elemento geométrico de referencia.
XI. Recién en el siglo XX se encontró en unos manuscritos de Piero de la Francesca, maestro de Luca de Paccioli, un dibujo del icosaedro truncado que es el más antiguo conocido de ese poliedro.
